Question

如图，在棱长为1的正方体ABCE-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
（1）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（2）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，表示出直线D₁E所在的向量与AF所在的向量，利用线面垂直关系得到向量的数量积为0，进而得到答案．
（2）分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，利用向量的夹角与二面角之间的关系可得二面角的余弦值．
解答：解：（1）以点A为原点，分别为x轴，y轴，z轴正向建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A（0，0，0），B₁（1，0，1），E（1，，0）
设F（a，1，0）（0≤a≤1）则，，，
∴即D₁E⊥AB₁
要使得D₁E⊥平面AB₁F，
∴必须且只需即，即：a=．
当时，点F为CD的中点，则D₁E⊥AF
又因为D₁E⊥AB₁，AF∩AB₁=A
所以D₁E⊥平面AB₁F．
所以当点F为CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F．
（2）由（1）可得点F为CD的中点，所以F（），所以．
因为，所以．
设是平面C1EF的一个法向量，
则，
于是
取z=1，则y=-2，x=-2，所以=（-2，-2，1）是平面C₁EF的一个法向量．
又因为=（0，0，1）是平面AEF的一个法向量，
所以cos=，
因为二面角C₁-EF-A为钝角，所以二面角C₁-EF-A的余弦值．
点评：解决此类问题的熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系进而利用空间向量解决线面垂直、平行关系，以及空间角与空间距离等问题．