Question

12．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（x）＞0，满足f（x•y）=f（x）•f（y），且在[0，+∞）上单调递增，若m满足f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）≤2f（1），求实数m的值．

Answer 1

分析 根据条件先判断函数f（x）是偶函数，结合函数单调性和奇偶性的关系进行转化求解即可．

解答 解：∵f（1）=f（1×1）=f（1）f（1），
∴f（1）=1，
∵f（-1）f（-1）=f（（-1）*（-1））=1，f（-1）＞0，
∴f（-1）=1，
∵f（x）f（$\frac{1}{x}$）=f（1）=1，
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{f（x）}$，
f（$\frac{m}{n}$）=$\frac{f（m）}{f（n）}$，
令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1）=f（x），f（x）为偶函数，
f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）=f（log₃m）+f（-log₃m）=2f（log₃m），
由f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）≤2f（1），得2f（log₃m）≤2f（1），
即f（log₃m）≤f（1），
则f（|log₃m|）≤f（1），
∵在[0，+∞）上单调递增，
∴|log₃m|≤1，
即-1≤log₃m≤1，
解得$\frac{1}{3}$≤m≤3．
∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
∴log₃m≠0，即m≠1，
综上$\frac{1}{3}$≤m≤3且m≠1．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据抽象函数关系判断函数是偶函数是解决本题的关键．考查函数奇偶性和单调性的应用．