Question

【题目】已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	﹣2	4
y	﹣2	0	﹣4

（1）求C1、C2的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N且满足 ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有 ，据此验证4个点知（3，﹣2 ）、（4，﹣4）在抛物线上，易求C2：y2=4x

设C1： ，把点（﹣2，0）（ ）代入得：

解得

∴C1方程为

（2）解：容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；

当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），

设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）

由 消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，

于是 ， ①

y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]

即 ②

由 ，即 ，得x1x2+y1y2=0（*），

将①、②代入（*）式，得 ，解得k=±2；

所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．

【解析】（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有 ，据此验证4个点知（3，﹣2 ）、（4，﹣4）在抛物线上，易求C2：y2=4x，设C1： ，把点（﹣2，0）（ ）代入得： ，由此能够求出C1方程．（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由 消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．