Question

【题目】设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）
A.f（x）在（0， ）单调递增
B.f（x）在（ ， ）单调递减
C.f（x）在（ ， ）单调递增
D.f（x）在（ ，π）单调递增

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）= [ sin（ωx+φ）+ cos（ωx+φ）]= sin（ωx+φ+ ）， ∵函数的最小正周期为2π，
∴T= =π，解得ω=2，
即f（x）= sin（2x+φ+ ），
∵f（﹣x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，则φ+ = +kπ，
即φ= +kπ，
∵|φ|＜ ，∴当k=0时，φ= ，
即f（x）= sin（2x+ + ）= sin（2x+ ）= cos2x，
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，
即kπ﹣ ≤x≤kπ，k∈Z，
故函数的递增区间为[kπ﹣ ，kπ]，k∈Z，
由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
即kπ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
故函数的递减区间为[kπ，kπ+ ]，k∈Z，
则当k=1时，函数递增区间为[ ，π]，
则f（x）在（ ，π），
故选：D
利用辅助角公式将函数进行化简，结合函数的周期和奇偶性求出函数的解析式即可得到结论．