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设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(
1
2
)
的值,试判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性,并加以证明;
(2)一个各项均为正数的数列{an},它的前n项和是Sn,若a1=3,且f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数M,使2na1a2an≥M•
2n+3
•(2a1-1)•(2a2-1)…(2an-1)
对于一切正整数n均成立?若存在,求出M的范围;若不存在,请说明理由.
(1)令x=y=1,得f(1)=0;令x=2,y=
1
2
,得f(
1
2
)=-1
(2分)
y=f(x)在(0,+∞)上单调递增.下面证明:
任取0<x1<x2,则
x2
x1
>1

∵当x>1时,f(x)>0,∴f(
x2
x1
)>0

在已知式中令x=x1,y=
x2
x1
,得f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
)>0
,即证.(4分)
(2)当n≥2时,∵f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1
∴f(Sn)+1=f(an)+f(an+1),即f(2Sn)=f(an(an+1))
∵y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴2Sn=an(an+1)(6分)
∴2Sn+1=an+1(an+1+1)
两式相减得:2an+1=
a2n+1
+an+1-
a2n
-an
,即(an+1+an)(an+1-an-1)=0∵an>0,
∴an+1-an=1∴数列{an}从第二项起,是以1为公差的等差数列…(7分)
又在2Sn=an(an+1)中令n=2可得:a2=3
综上,an=
3,n=1
n+1,n≥2
.(8分)
(3)n=1时,2×3≥M•
5
•5,M≤
6
5
25
(9分)
n≥2时,2n•3•3•4…(n+1)≥M
2n+3
•5•5•7…(2n+1)

M≤
2n•3•3•4…(n+1)
2n+3
•5•5•7…(2n+1)

bn=
2n•3•3•4…(n+1)
2n+3
•5•5•7…(2n+1)

bn+1
bn
=
2(n+2)
2n+3
(2n+3)
2n+5
=
4n2+16n+16
4n2+16n+15
>1

∴{bn}是递增数列
M≤b2=
36
7
25×7
6
5
25

M≤
36
7
175
(12分)
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设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(
13
)=1
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(1)求f(0)的值;
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1
f(
-an
2an+1
)
(n∈N*
(Ⅰ)求证:y=f(x)是R上的减函数;          
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)若不等式
k
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
-
1
2n+1
≤0
对一切n∈N*均成立,求k的最大值.

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1
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1
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2

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