Question

【题目】已知函数 ．
（1）当a=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，当0＜x≤2时，函数f（x）图象上的点都在 所表示的平面区域（含边界）？若存在，求出a的值组成的集合；否则说明理由；
（3）若f（x）有两个不同的极值点m，n（m＞n），求过两点M（m，f（m）），N（n，f（n））的直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0时，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣ ，

∴f（1）=1，f′（1）=﹣1，

∴求出直线方程是y﹣1=﹣（x﹣1），

即y=﹣x+2；

（2）解：由题意得：0＜x≤2时，f（x）≤x，即 ﹣2lnx≤0，

设φ（x）= ﹣2lnx，则问题等价于x∈（0，2]时，φ（x）max≤0，

φ′（x）=﹣ ，

（i）当a≥0时，φ′（x）＜0，不合题意，

（ii）当a＜0时，①﹣ ∈（0，2）时，φ（x）在（0，﹣ ）上递增，在（﹣ ，2）上递减，

φ（x）max=φ（﹣ ）=﹣2﹣2ln（﹣ ）≤0，此时，a∈（﹣4，﹣ ]；

②﹣ ∈[2，+∞）时，φ（x）在（0，2]递增，φ（2）= ﹣2ln2≤0，

此时，a∈（﹣∞，﹣4]；

综上，存在实数a组成的集合{a|a≤﹣ }；

方法二：由题意f（x）≤x，对x∈（0，2]恒成立，

即 ﹣2lnx≤0对x∈（0，2]恒成立，

由 ﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，

令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），则a≤[φ（x）]min，

φ′（x）=2（lnx+x ）=2（lnx+1），

当0＜x＜ 时，φ′（x）＜0，

当 ＜x＜2时，φ′（x）＞0，

∴φ（x）在（0，2]上的最小值是φ（ ）=﹣ ，

故a≤﹣ 为所求；

（3）解：由f′（x）= =0（x＞0），

得x2﹣2x﹣a=0，（x＞0），

由题意得： ，解得：﹣1＜a＜0，

kMN= = =2﹣ ，

设t= ，（m＞n），

则kMN=2﹣ （t＞1），

设g（t）= lnt，（t＞1），

则g′（t）= ，

设h（t）=t﹣ ﹣2lnt（t＞1），

则h′（t）=1+ ﹣ = ＞0，

∴h（t）在（1，+∞）递增，

∴h（t）＞h（1）=0即g（t）＞0，

∴g（t）在（1，+∞）递增，

t→+∞时，g（t）→+∞，

设Q（t）=lnt﹣（1﹣ ），（t＞1），

则Q′（t）= ＞0，

∴Q（t）在（1，+∞）递增，

∴Q（t）＞Q（1）=0，即lnt＞1﹣ ，

同理可证t﹣1＞lnt，

∴t+1＞ ＞ ，

当t→1时，t+1→2， →2，

∴t→1时，g（t）→2，

∴直线MN的斜率的取值范围是（﹣∞，0）．

【解析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）法一：根据 ﹣2lnx≤0，设φ（x）= ﹣2lnx，则问题等价于x∈（0，2]时，φ（x）max≤0，通过讨论a的范围，求出函数的最大值，从而求出a的范围即可；法二：由 ﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），则a≤[φ（x）]min ， 根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出a的范围即可；（3）求出函数f（x）的导数，求出a的范围，表示出直线MN的斜率，结合换元思想以及函数的单调性求出斜率k的范围即可．
【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．