Question

（2013•绵阳一模）设向量

a

=（cos2x，1），

b

=（1，

3

sin2x），x∈R，函数f（x）=

a

•

b

．
（I ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（II）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积，利用两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数f（x）的最小正周期及对称轴方程．
（Ⅱ）通过x的范围求出2x+

π

6

的范围，利用正弦函数的值域，求解函数的值域即可．

解答：解：（Ⅰ）f （x）=

a

•

b

=（cos2x，1）•（1，

3

sin2x）
=

3

sin2x+cos2x
=2 sin（2x+

π

6

），…（6分）
∴最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
即f （x）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，即0≤x≤

π

2

，可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f （x）取得最大值f （

π

6

）=2；
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f （x）取得最小值f （

π

2

）=-1．
即f （x） 的值域为[-1，2]．…（12分）

点评：本题以向量为依托，考查三角函数的两角和的正弦函数的应用，函数的周期，值域的求法，考查计算能力．