Question

15．$\int_{-4}^4{\sqrt{16-{x^2}}}dx+\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{x^3}dx-\int_1^2{（{\frac{1}{x}-x}）dx=}$8π+ln2-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据定积分几何意义和定积分的计算法则计算即可．

解答 解：根据定积分的几何意义${∫}_{-4}^{4}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$表示以原点为圆心，
以及半径为4的圆的面积的二分之一，故${∫}_{-4}^{4}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×16π=8π，
因为x³奇函数，故${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$x³dx=0，
因为${∫}_{1}^{2}$（$\frac{1}{x}$-x）dx=（lnx-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$=（ln2-2）-（ln1-$\frac{1}{2}$）=ln2-$\frac{3}{2}$，
故原式=8π+0+ln2-$\frac{3}{2}$=8π+ln2-$\frac{3}{2}$，
故答案为：8π+ln2-$\frac{3}{2}$

点评 本题考查了定积分几何意义和定积分的计算，属于中档题．