Question

19．已知函数$f（x）=\frac{ax+1}{x+2}（a∈R）$，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（-2，+∞）上单调递增”的什么条件．（　　）

• A． “充要”
• B． “充分不必要”
• C． “必要不充分”
• D． “既不充分也不必要”

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，求出“f（x）在区间（-2，+∞）上单调递增”的充要条件，从而得到答案．

解答 解：f′（x）=$\frac{（ax+1）′（x+2）-（ax+1）（x+2）′}{{（x+2）}^{2}}$=$\frac{2a-1}{{（x+2）}^{2}}$，
如f（x）在区间（-2，+∞）上单调递增，
则2a-1＞0，解得：a＞$\frac{1}{2}$，
由f（2）＜f（3），得：$\frac{2a+1}{4}$＜$\frac{3a+1}{5}$，解得：a＞$\frac{1}{2}$，
故f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（-2，+∞）上单调递增”的充要条件，
故选：A．

点评 本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道基础题．