Question

如图，已知抛物线的方程为x²=2px（p＞0，为常数），过点M（0，m）且倾斜角为θ(0＜θ＜

π

2

)的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且x1x2=-p2
（1）求m的值
（2）若点M分AB所成的比为λ=

1

2

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）设AB方程为y=kx+m，代入x²=2py，得x²-2pkx-2pm=0，由此能求出m．
（2）设|AA₁|=|AM|=t，则|BB₁|=|BM|=2t，由此得到tanθ=

2t-t

(2t+t)2-t2

=

2

4

，从而能求出AB的方程．

解答：解：（1）设AB方程为y=kx+m代入x²=2py得x²-2pkx-2pm=0，①（3分）
由x1x2=-p2得，-2pm=-p²
∴2m=p，即m=

p

2

，（6分）
（2）设|AA₁|=|AM|=t，则|BB₁|=|BM|=2t，
∴tanθ=

2t-t

(2t+t)2-t2

=

2

4

，（10分）
故AB方程为y=

2

4

x+

p

2

．（12分）

点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线性质和等价转化思想的合理运用．