Question

7．已知数列{a_n}的前n项为S_n，且S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²对于任意n∈N^*恒成立．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a_n＞0，设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²对于任意n∈N^*恒成立，∴当n=1时，a₁=$\frac{1}{4}$$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1=2．
当a_n+a_n-1=0时，a_n=（-1）^n-1．
当a_n-a_n-1=2时，数列{a_n}是等差数列，公差为2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵a_n＞0，∴a_n=2n-1．
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{1}{2}+1$+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{1}{2}$+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．