已知函数对于任意的
满足
.
(1)求的值;
(2)求证:为偶函数;
(3)若在
上是增函数,解不等式
(1)。
(2)令,得
,可得
。
(3)不等式的解集为:[-1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪(5,6]。
解析试题分析:(1)解:∵对于任意的满足
∴令,得到:
令,得到:
4分
(2)证明:有题可知,令,得
∵ ∴
∴
为偶函数; 8分
(3)由(2) 函数是定义在非零实数集上的偶函数.
∴不等式可化为
∴.即:
且
在坐标系内,如图函数图象与
两直线.
由图可得x∈[-1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪(5,6]
故不等式的解集为:[-1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪(5,6] 12分
考点:抽象函数,函数的奇偶性,函数的图象,抽象不等式。
点评:中档题,抽象函数问题,往往利用“赋值法”。抽象不等式问题,往往要利用函数的单调性,结合函数的图象分析得解。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在半径为、圆心角为
的扇形的弧上任取一点
,作扇形的内接矩形
,使点
在
上,点
在
上,设矩形
的面积为
,
(Ⅰ)按下列要求求出函数关系式:
①设,将
表示成
的函数关系式;
②设,将
表示成
的函数关系式;
(Ⅱ)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数和点
,过点
作曲线
的两条切线
、
,切点分别为
、
.
(Ⅰ)设,试求函数
的表达式;
(Ⅱ)是否存在,使得
、
与
三点共线.若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数,在区间
内总存在
个实数
,
,使得不等式
成立,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数定义域为
,且
.设点
是函数图像上的任意一点,过点
分别作直线
和
轴的垂线,垂足分别为
.
(1)写出的单调递减区间(不必证明);
(2)问:是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由;
(3)设为坐标原点,求四边形
面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效。有一家公司现有职员人,(
,且
为偶数),每人每年可创利
万元。据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年可多创利
万元,但公司需支付下岗职员每人每年
万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有员工的
,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元至1000万元的投资收益.为加快开发进程,特制定了产品研制的奖励方案:奖金(万元)随投资收益
(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
现给出两个奖励模型:①;②
.
试分析这两个函数模型是否符合公司要求?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
对于在区间 [ m,n ] 上有意义的两个函数与
,如果对任意
,均有
,则称
与
在 [ m,n ] 上是友好的,否则称
与
在 [ m,n ]是不友好的.现有两个函数
与
(a > 0且
),给定区间
.
(1)若与
在给定区间
上都有意义,求a的取值范围;
(2)讨论与
在给定区间
上是否友好.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,(其中3<x<6,
为常数,)已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。
(I)求的值;
(II)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
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