Question

已知向量

a

=2

i

-3

j

，

b

=2

i

+3

j

，其中

i

，

j

是互相垂直的单位向量．
（1）求以

a

，

b

为一组邻边的平行四边形的面积；
（2）设向量

m

=

a

-3

b

，

n

=λ

a

+

b

，其中λ为实数，若

m

与

n

夹角为钝角，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的夹角公式，可得

a

，

b

的夹角θ，再由平行四边形的公式计算即可得到；
（2）

m

与

n

夹角为钝角的等价条件为数量积小于0，且它们不共线，计算即可得到范围．

解答： 解：（1）可知平行四边形两条邻边长为|

a

|=|

b

|=

13

，
又设

a

，

b

夹角为θ，可知cosθ=

a • b

| a |•| b |

=-

5

13

，
因为θ∈[0，π]，可知sinθ=

12

13

，
所以该平行四边形面积为|

a

|•|

b

|sinθ=13×

12

13

=12；
（2）

m

=(-4，-12)，

n

=(2+2λ，3-3λ)，
若

m

与

n

夹角为钝角，则

m • n =( a -3 b )•(λ a + b )＜0⇒λ＜ 11 7 m ， n 不共线⇒ . 1 -3 λ 1 . ≠0

⇒λ＜

11

7

且λ≠-

1

3

．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查向量夹角为钝角的等价条件：数量积小于0，且不共线，考查运算能力，属于中档题和易错题．