Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)+

3

cos2x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？（写出变换过程）
（3）在△ABC中，若f(C)=

3

， 2sinB=cos(A-C)-cos(A+C)，求tanA的值．

Answer 1

分析：（1）用三角函数的降幂公式结合

π

2

+α的诱导公式，可得2sin2(

π

4

+x)=1+sin2x．代入函数f（x），再用辅助角公式：asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+φ)，进行合并化简得f（x）=2sin(2x+

π

3

)，最后可用函数y=Asin（ωx+φ）的周期与单调性的结论与公式，得到函数f（x）的最小正周期和单调增区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，先进行相位变换将图象左移，然后再分别进行横坐标和纵坐标的伸缩，可得到函数f（x）=2sin(2x+

π

3

)的变换过程．
（3根据（1）的表达式，解方程f(C)=

3

，结合C为三角形内角，得到C=

π

6

，将其代入已知等式化简可得（

3

-1）sinA=-cosA，最后利用同角三角函数的关系，可得 tanA的值．

解答：解：（1）∵2sin2(

π

4

+x)=2×

1- cos( π 2 +2x)

2

=1-cos(

π

2

+2x)=1+sin2x，
∴f(x)=2sin2(

π

4

+x)+

3

cos2x-1=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+ 

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

∴函数f（x）的单增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z
（2）函数f（x）的图象可由函数y=sinx的图象先向左平移

π

3

个单位，
然后将图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

，最后将图象上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍而得．
（3）由（1）得f(C)=2sin(2C+

π

3

)=

3

，所以sin(2C+

π

3

)=

3

2

∵0＜C＜π，

π

3

＜2C+

π

3

＜

7π

3

，
∴2C+

π

3

=

2π

3

，可得C=

π

6

，
∵在△ABC中，π-B=A+C，得sinB=sin（A+C）
∴2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）可化为：2sin（A+C）=cos（A-C）-cos（A+C）
展开化简得：2sinAcosC+2cosAsinC=2sinAsinC，
将C=

π

6

代入，得2sinAcos

π

6

+2cosAsin

π

6

=2sinAsin

π

6

，
∴

3

sinA+cosA=sinA，即（

3

-1）sinA=-cosA，
所以tanA=

sinA

cosA

=-

3 +1

2

．

点评：本题给出一个特殊的三角函数，结合三角函数的降次公式、诱导公式和辅助角公式，求函数的单调区间与周期，以及求三角函数的值，着重考查了正弦函数的单调性、三角函数的化简求值和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识点，属于中档题．