Question

设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（1，0）的距离比点P到直线x=-2的距离小1，过点M的直线l与点P的轨迹方程交于A、B两点．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
（III）求证：S_△OAB=S_△OAM•|BM|．

Answer 1

分析：（I）利用抛物线的定义，即可得到点P的轨迹方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入抛物线方程，验证

OA

•

OB

=0是否成立即可；
（III）S_△OAB=

1

2

•|OM|•|y1-y2|，S_△OAM•|BM|=

1

2

•|OM|•|y1|•(x2+1)，化简可结论．

解答：（Ⅰ）解：∵点P到定点M（1，0）的距离比点P（x，y）（x≥0）到直线x=-2的距离小1，
∴由抛物线的定义，可得点P的轨迹方程为y²=4x；
（Ⅱ）解：当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=1，与抛物线方程联立，可得A（1，2），B（1，-2），不满足

OA

•

OB

=0；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
∴y₁y₂=-4，∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，不满足

OA

•

OB

=0
∴不存在直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点；
（III）证明：∵S_△OAB=

1

2

•|OM|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

|k(x1-x2)|

2

S_△OAM•|BM|=

1

2

•|OM|•|y1|•(x2+1)=

1

2

•|k(x1-1)|•(x2+1)=

|k(x1x2+x1-x2-1)|

2

|k(x1-x2)|

2

∴S_△OAB=S_△OAM•|BM|．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．