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    是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=
    n(n+1)
    12
    （an2+bn+c）．
    假设存在a、b、c使题设的等式成立，
    这时令n=1，2，3，有
    4=
    1
    6
    (a+b+c)
    22=
    1
    2
    (4a+2b+c)
    70=9a+3b+c
    解得：
    a=3
    b=11
    c=10
    ．
    于是，对n=1，2，3下面等式成立
    1•22+2•32+…+n（n+1）2=
    n(n+1)
    12
    (3n2+11n+10)
    记Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
    证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，
    ②设n=k时上式成立，即Sk=
    k(k+1)
    12
    （3k2+11k+10）
    那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=
    k(k+1)
    12
    （k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2
    =
    (k+1)(k+2)
    12
    （3k2+5k+12k+24）
    =
    (k+1)(k+2)
    12
    [3（k+1）2+11（k+1）+10]
    也就是说，等式对n=k+1也成立．
    综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．
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    （1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
    （2）若对?x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明?x0∈（x1，x2），使f(x0)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    成立．
    （3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
    1
    2
    (x-1)2    ．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

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    （2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对任意x∈R，都有0≤f(x)-x≤
    12
    (x-1)2    ，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
    （1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
    （2）若对x1x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明方程f（x）=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    必有一个实数根属于（x1，x2）．
    （3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件
    ①当x=-1时，函数f（x）有最小值0；
    ②对任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤
    (x-1)2
    2
    若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c
    （1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
    （2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：
    1
    2
    [f（x1）+f（x2）]＞f（
    x1+x2
    2
    ）成立．
    （3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
    ①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
    ②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
    1
    2
    (x-1)2    ？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
    （1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；
    （2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
    ①对任意x∈R，f（-1+x）=f（-1-x），且f（x）≥0；
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    1
    2
    （x-1）2．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
    （3）若对任意x1、x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=
    1
    2
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