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如图,已知直线l与抛物线y2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,若y1y2=-1,
(1)求证:OA⊥OB;
(2)M点的坐标为(1,0),求△AOB的面积的最小值.
分析:(1 ) 设M点的坐标为(x0,0),直线l方程为 x=my+x0,代入y2=x得y2-my-x0=0 可证得M点的坐标为(1,0).再根据y1y2=-1结合向量的坐标运算得出OA⊥OB.
(2)直线AB过点(1,0),OA⊥OB,当直线AB过(1,0)且垂直于x轴时,△AOB的面积的取最小值.由此能求出结果.
解答:解:(1 ) 设M点的坐标为(x0,0),直线l方程为 x=my+x0,代入y2=x得
y2-my-x0=0        ①,
y1、y2是此方程的两根,
∴x0=-y1y2=1,即M点的坐标为(1,0).
∵y1y2=-1
∴x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=y1y2(y1y2+1)=0,
∴OA⊥OB.
(2)由方程①,y1+y2=m,y1y2=-1,且|OM|=x0=1,
于是S△AOB=
1
2
|OM||y1-y2|=
1
2
(y1+y2)2-4y1y2
=
1
2
m2+4
≥1,
∴当m=0时,△AOB的面积取最小值1.
点评:本题考查抛物线的简单性质,考查三角形面积的最小值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意抛物线性质的合理运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0).
(1)若动点M满足
AB
BM
+
2
|
AM
|
=0,求动点M的轨迹Q;
(2) F1,F2是轨迹Q的左、右焦点,过F1作直线l(不与x轴重合),l与轨迹Q相交于C,D,并与圆x2+y2=3相交于E,F.当
F2E
F2F
,且λ∈[
2
3
,1]时,求△F2CD的面积S的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知直线l与抛物线y=
1
4
x2
相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0).
(1)若动点M满足
AB
BM
+
2
|
AM
|=0
,求动点M的轨迹C的方程;
(2)若过点B的直线l'(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同
的两点E、F(E在B、F之间),且
BE
BF
,试求λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,定点B的坐标为(2,0).
(I)若动点M满足
AB
BM
+
2
|
AM
|=0
,求点M的轨迹C;
(Ⅱ)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年山东省兖州市高三第三次模拟考试理科数学卷 题型:解答题

如图,已知直线l与抛物线相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0).

(I) 若动点M满足,求点M的轨迹C;

(II)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围

 

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