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(本小题共13分)

   如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=

BAD=90°,AB中点,FPC中点.

   (I)求证:PEBC

   (II)求二面角CPEA的余弦值;

   (III)若四棱锥PABCD的体积为4,求AF的长.

 

【答案】

(I)证明见解析。

(II)

(III)

【解析】(I)

∴PA⊥BC

∴BC⊥平面PAB

又E是AB中点,

平面PAB

∴BC⊥PE.                                                                                     …………6分

(II)建立直角坐标系

B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),

由(I)知,BC⊥平面PAE

是平面PAE的法向量.

设平面PEC的法向量为

二面角CPEA的余弦值为                                             …………10分

(III)连结BC,设AB=a

 

是直角三角形,

         …………13分

 

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