Question

【题目】已知椭圆 上的动点P与其顶点 ， 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x0 ， y0），则 ． 所以直线PA与PB的斜率乘积为 ．…（4分）
（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为- ．
① 当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为 ，设直线OM的方程
是 ，由 得 ，y=±1．
取 ，则 ．所以△OMN的面积为 ．
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，
由 得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．
因为M，N在椭圆C上，
所以△=36k2m2﹣4（3k2+2）（3m2﹣6）＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．
设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则 ， ． = ．
设点O到直线MN的距离为d，则 ．
所以△OMN的面积为 …①．
因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为- ，所以 ．
所以 = ．
由 ，得3k2+2=2m2…②
由①②，得 ．
综上所述，
【解析】（Ⅰ）设点设P（x0 ， y0），从而可得直线PA与PB的斜率乘积为 （Ⅱ）设方程为y=kx+m，由两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB及（Ⅰ）得直线OM，ON的斜率乘积为﹣ ，可得到m、k的关系，再用弦长公式及距离公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面积即可．