Question

（1）已知函数，
（Ⅰ）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．
（2）已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，求证：

Answer 1

【答案】分析：（1）：（Ⅰ）令a^x=t利用换元法把方程化简，方程f（x）=m有两个不同的正数解等价于关于t的方程有相异的且均大于1的两根列出不等式求出解集即可；
（Ⅱ）根据题意得到g（x），分a＞1和0＜a＜1两种情况利用导函数的增减性求出函数的最值，找出与a无关的范围即可；
（2）：（Ⅰ）求出f′（x）讨论其大于0得到函数的单调增区间，小于0得到函数的单调减区间即可；
（Ⅱ）由于f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，就是要f（x）的最小值小于等于0，利用（Ⅰ）的结论得到函数的最大值，求出m即可；
（Ⅲ）利用利用（Ⅱ）的结论化简不等式左边利用（Ⅱ）结论得证．
解答：解（1）：（Ⅰ）令a^x=t，x＞0，因为a＞1，所以t＞1，
所以关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解等价关于t的方程有相异的且均大于1的两根，即关于t的方程t²-mt+2=0有相异的且均大于1的两根，所以，解得，
故实数m的取值范围为区间．
（Ⅱ）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①当a＞1时，
（a）x≥0时，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
（b）-2≤x＜0时，g（x）=a^-x+2a^x，所以
ⅰ当即时，对?x∈（-2，0），g'（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上递增，
所以，综合（a）（b），g（x）有最小值为与a有关，不符合
ⅱ当即时，由g'（x）=0得，
且当时g'（x）＜0，
当时，g'（x）＞0，
所以g（x）在上递减，在上递增，
所以=，综合（a）（b）g（x）有最小值为与a无关，符合要求．
②当0＜a＜1时，
（a）x≥0时，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈（0，3]
（b）-2≤x＜0时，，g（x）=a^-x+2a^x，
所以＜0，g（x）在[-2，0）上递减，
所以，综合（a）（b）g（x）有最大值为与a有关，不符合
综上所述，实数a的取值范围是．
（2）解：（Ⅰ）
当m≤0时，f^/（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，由
则，则f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；
当m＞0时，只需m-lnm-1≤0即令g（x）=x-lnx-1，
则，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（1）=0
则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．
（Ⅲ），
由0＜a＜b得，由（Ⅱ）得：，
则，
则原不等式成立．
点评：此题是一道综合题，考查学生对函数最值及几何意义的理解，利用导数研究函数增减性及最值的能力，以及函数与方程的综合运用能力．