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(1)已知函数
(Ⅰ)若a>1,且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)设函数g(x)=f(-x),x∈[-2,+∞),g(x)满足如下性质:若存在最大(小)值,则最大(小)值与a无关.试求a的取值范围.
(2)已知函数f(x)=lnx-mx+m,m∈R.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,任意的0<a<b,求证:
【答案】分析:(1):(Ⅰ)令ax=t利用换元法把方程化简,方程f(x)=m有两个不同的正数解等价于关于t的方程有相异的且均大于1的两根列出不等式求出解集即可;
(Ⅱ)根据题意得到g(x),分a>1和0<a<1两种情况利用导函数的增减性求出函数的最值,找出与a无关的范围即可;
(2):(Ⅰ)求出f′(x)讨论其大于0得到函数的单调增区间,小于0得到函数的单调减区间即可;
(Ⅱ)由于f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,就是要f(x)的最小值小于等于0,利用(Ⅰ)的结论得到函数的最大值,求出m即可;
(Ⅲ)利用利用(Ⅱ)的结论化简不等式左边利用(Ⅱ)结论得证.
解答:解(1):(Ⅰ)令ax=t,x>0,因为a>1,所以t>1,
所以关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解等价关于t的方程有相异的且均大于1的两根,即关于t的方程t2-mt+2=0有相异的且均大于1的两根,所以,解得
故实数m的取值范围为区间
(Ⅱ)g(x)=a|x|+2ax,x∈[-2,+∞)
①当a>1时,
(a)x≥0时,ax≥1,g(x)=3ax,所以g(x)∈[3,+∞),
(b)-2≤x<0时,g(x)=a-x+2ax,所以
ⅰ当时,对?x∈(-2,0),g'(x)>0,所以g(x)在[-2,0)上递增,
所以,综合(a)(b),g(x)有最小值为与a有关,不符合
ⅱ当时,由g'(x)=0得
且当时g'(x)<0,
时,g'(x)>0,
所以g(x)在上递减,在上递增,
所以=,综合(a)(b)g(x)有最小值为与a无关,符合要求.
②当0<a<1时,
(a)x≥0时,0<ax≤1,g(x)=3ax,所以g(x)∈(0,3]
(b)-2≤x<0时,,g(x)=a-x+2ax
所以<0,g(x)在[-2,0)上递减,
所以,综合(a)(b)g(x)有最大值为与a有关,不符合
综上所述,实数a的取值范围是
(2)解:(Ⅰ)
当m≤0时,f/(x)>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当m>0时,由
,则f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:当m≤0时显然不成立;
当m>0时,只需m-lnm-1≤0即令g(x)=x-lnx-1,
,函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∴g(x)min=g(1)=0
则若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,m=1.
(Ⅲ)
由0<a<b得,由(Ⅱ)得:

则原不等式成立.
点评:此题是一道综合题,考查学生对函数最值及几何意义的理解,利用导数研究函数增减性及最值的能力,以及函数与方程的综合运用能力.
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(1)已知函数y=x+
1
x
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1
2
,k=1
,求函数f(x)的单调区间.
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12
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(2010•抚州模拟)给出下列命题:
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acosx,x≥0
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在x=0处连续,则a=-1;
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πx
2
≥kx
恒成立,则实数k的取值范围是[0,1];
④将函数y=tan(ωx+
π
4
)(ω>0)
的图象按向量
a
=(
π
6
,0)
平移后,与函数y=tan(ωx+
π
6
)
的图象重合,则ω的最小值为
1
6

你认为正确的命题是
①②
①②
.(写出所有正确命题的序号)

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(其中a为常数),求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:不等式
1
ln(x+1)
-
1
x
1
2
在0<x<1上恒成立.

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