【题目】已知实数a>0且a≠1.设命题p:函数f(x)=logax在定义域内单调递减;命题q:函数g(x)=x2﹣2ax+1在(,+∞)上为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】
先分别求得p,q为真时的a的范围,再将问题转化为p,q一真一假时,分类讨论可得答案.
∵函数f(x)=logax在定义域内单调递减,∴0<a<1.
即:p:{a|0<a<1}.
∵a>0且a≠1,∴¬p:{a|a>1},
∵g(x)=x2﹣2ax+1在(,+∞)上为增函数,∴a.
又∵a>0且a≠1,
即q:{a|0<a}.
∴¬q:{a|a且a≠1}.
又∵“p∧q”为假,“p∨q”为真,∴“p真q假”或“p假q真”.
①当p真q假时,{a|0<a<1}∩{a|a且a≠1}={a|a<1}..
②当p假q真时,{a|a>1}∩{a|0<a}=,
综上所述:实数a的取值范围是:{a|a<1}.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;
(2)在曲线上取两点,与原点构成,且满足,求面积的最大值.
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【题目】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用,化简,得.设勾股形中勾股比为,若向弦图内随机抛掷颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
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【题目】某高科技公司研究开发了一种新产品,生产这种新产品的每天固定成木为30000元,每生产x件,需另投入成本为t元, ,每件产品售价为10000元.(该新产品在市场上供不应求可全部卖完.)
(1)写出每天利润y关于每天产量x的函数解析式;
(2)当每天产量为多少件时,该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.
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【题目】据悉,2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元,中国占据全球市场份额10.8%.通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业,下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)在上述抽取的40个企业中任取3个,抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少?
(3)在上述抽取的40个企业中任取2个,设为产值不超过500万元的企业个数减去超过500万元的企业个数的差值,求的分布列及期望.
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【题目】某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团 | 未参加书法社团 | |
参加演讲社团 | ||
未参加演讲社团 |
(1)从该班随机选名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中,有5名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选人,求被选中且未被选中的概率.
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