Question

已知函数g（x）=-x²-3，f（x）是二次函数，当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）为奇函数，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根据题意设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），再由f（x）+g（x）为奇函数求出a、c的值，再求对称轴，根据所给的区间进行分类讨论，分别求出f（x）的最小值列出方程，求出b的值．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
∵f（x）+g（x）为奇函数，∴a=1，c=3
∴f（x）=x²+bx+3，对称轴x=-

b

2

，
①当-

b

2

＞2，即b＜-4时，f（x）在[-1，2]上为减函数，
∴f（x）的最小值为f（2）=4+2b+3=1，∴b=-3，∴此时无解
②当-1≤-

b

2

≤2，即-4≤b≤2时，f（x）_min=f（-

b

2

）=3-

b2

4

=1，∴b=±2

2

∴b=-2

2

，此时f（x）=x²-2

2

x+3，
③当-

b

2

＜-1s时，即b＞2时，f（x）在[-1，2]上为增函数，
∴f（x）的最小值为f（-1）=4-b=1，
∴b=3，∴f（x）=x²+3x+3，
综上所述，f（x）=x²-2

2

x+3，或f（x）=x²+3x+3．

点评：本题考查了函数性质的综合应用，待定系数法求函数的解析式，以及分类讨论思想求二次函数在定区间上的最值问题．