Question

某中学举行了一次“上海世博会知识竞赛”，从全校参加竞赛的学生的试卷中，随机抽取了一个样本，考察竞赛的成绩分布（得分均为整数，满分100分），将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2，最右边一组的频数是6．请结合直方图提供的信息，解答下列问题：
（Ⅰ）样本容量是多少？
（Ⅱ）成绩落在那个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率；
（Ⅲ）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比．

Answer 1

解：在频率分布直方图中，长方形的高之比=面积之比=频数之比=频率之比
（Ⅰ）∵最右边一组的频数是6，从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2
∴设样本容量为n，得（1+3+6+4+2）：n=2：6
∴n=48，样本容量为48
（Ⅱ）由频率分布直方图可以看出，成绩落在[60，70）内的人数最多，
频数为6×，频率为
（Ⅲ）在此样本中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比为

由此可以估计出：在这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比约为75%．
分析：（I）根据最右边一组的频数是6，而频率等于该组的面积在整个图形面积中的百分比，因此可得样本容量为48；
（II）图中矩形面积最大的一组就是人数最多的组，由此找出最高的矩形，在[60，70）这一组，再用公式求出其频数、频率；
（Ⅲ）用样本估计总体：在样本中算出[60，70）、[70，80）、[80，90）这三个组占总数的百分比，就可以估计出成绩高于60分的学生占总人数的百分比．
点评：本题考查了频率直方图的有关知识，属于基础题．频率直方图中，各个小长方形的面积等于该组数据的频率，所有长方形的面积之和等于1．