Question

5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4，∠PAB=60° 
（I）若PE中点为．求证：AE∥平面PCD；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求三棱锥P-BDG的体积．

Answer 1

分析 （I）取PC的中点G，连结DG，EG，根据已知条件容易说明四边形ADGE为平行四边形，从而有AE∥DG，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；
（Ⅱ）三棱锥P-BDG的体积=$\frac{1}{2}$V_P-BDC，即可求三棱锥P-BDG的体积．

解答 （I）证明：如图，取PC的中点G，连结DG，EG；
∵EG∥AD，且AD=EG，所以ADGE为平行四边形；
∴AE∥DG，且AE?平面PCD，DG?平面PCD；
∴AE∥平面PCD；
（II）解：侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AB=2，∠PAB=60°，
∴P到平面BDC的距离为$\sqrt{3}$，
底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=2，BC=4，∴S_△BDC=$\frac{1}{2}×4×2$=4
三棱锥P-BDG的体积=$\frac{1}{2}$V_P-BDC=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式．