Question

在区间[1，4]上任取实数a，在区间[0，3]上任取实数b，使函数f（x）=ax²+x+b有两个相异零点的概率是

 

．

Answer 1

分析：设所求的事件为A，由方程ax²+x+b=0有两个相异根，即△=1-4ab＞0求出ab范围，判断出是一个几何概型后，在坐标系中画出所有的实验结果和事件A构成的区域，再用定积分求出事件A构成的区域的面积，代入几何概型的概率公式求解．

解答：解：设事件A={使函数f（x）=ax²+x+b有两个相异零点}，
方程ax²+x+b=0有两个相异根，即△=1-4ab＞0，解得ab＜

1

4

，
∵在[1，4]上任取实数a，在[0，3]上任取实数b，
∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω={（a，b）|1≤a≤4且 0≤b≤3}；
事件A={（a，b）|ab＜

1

4

，1≤a≤4且 0≤b≤3}，在坐标系中画出图形：
则图中阴影部分是事件A构成的区域，则它的面积S=

∫

4 1

1

4a

da=

1

4

lna|₁⁴=

1

2

ln2，
∴事件A的概率P（A）=

1 2 ln2

9

=

ln2

18

．
故答案为：

ln2

18

．

点评：本题考查了几何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的个数求出ab的范围，用定积分求不规则图形的面积，考查了学生综合运用知识的能力．