Question

(本小题满分1 2分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(一1，1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．

(I)求点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，试探究：点M的横坐标是否为定值?并说明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得

，·························· 2分

 

整理得轨迹的方程为（且），…4分

（Ⅱ）（方法一）设，

由可知直线，则，

故，即，…………………6分

由三点共线可知，与共线，

∴　，

由（Ⅰ）知，故，··················· 8分

同理，由与共线，

∴　，即，

由（Ⅰ）知，故，·········· 10分

将，代入上式得，

整理得，

由得，即点M的横坐标为定值．··········   12分

（方法二）

设

由可知直线，则，

故，即，················· 6分

∴直线方程为：   ①；·················· 8分

直线的斜率为：，　　                   

∴直线方程为：，即  ②；· 10分

联立①②，得，∴点的横坐标为定值．·········· 12分

 

【解析】略