Question

如图为函数f（x）=

x

（0＜x＜1）的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为______．

Answer 1

对函数求导可得，f′(x)=

1

2 x

由题意可得M（t，

t

），切线的斜率k=f′(t)=

1

2 t

过点M的切线方程为y-

t

=

1

2 t

(x-t)
则可得P(0，

t

2

)N(0，1)Q(2

t

-t，1)
S△PNQ=

1

2

PN•NQ=

1

2

(2

t

-t)(1-

t

2

)l=

t

-t+

t t

4

l
令g（t）=

t

-t+

t t

4

（0＜t＜1）
g′(t)=

3

8

t

+

1

2 t

-1=

3t-8 t +4

8 t

=

(3 t -2)( t -2)

8 t

函数g（t）在（0，

4

，9

）单调递增，在[

4

9

，1)单调递减
由于g(1)=

1

4

，g(

4

9

)=

8

27

△PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点
，根据函数的图象可知

1

4

＜b＜

8

27

故答案为：(

1

4

，

8

27

)