Question

若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数．
（1）求方差Dξ的最大值；
（2）求

2Dξ-1

Eξ

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意ξ服从两点分布，Dξ=p-p²，（0＜p＜1），转化为二次函数求最值．
（2）将Eξ和Dξ代入，利用基本不等式求最值．

解答：解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，
从而Eξ=0×（1-p）+1×p=p，Dξ=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p=p-p²，
（1）Dξ=p-p2=-(p2-p+

1

4

)+

1

4

=-(p-

1

2

)2+

1

4

，
因为0＜P＜1，所以当p=

1

2

时，Dξ取得最大值，最大值为

1

4

．
（2）

2Dξ-1

Eξ

=

2(p-p2)-1

p

=2-(2p+

1

p

)，因为0＜P＜1，所以2p+

1

p

≥2

2

．
当2p=

1

p

，即p=

2

2

时，取“=”．
因此，当p=

2

2

时，

2Dξ-1

Eξ

取得最大值2-2

2

．

点评：本题考查两点分布的期望和方差，及函数的最值问题，本题将概率知识与函数知识很好的结合，难度不大．