Question

（2013•甘肃三模）设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为

-2

．

Answer 1

分析：由曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），知y′=（n+1）xⁿ，故f′（1）=n+1，所以曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=

n

n+1

，故a_n=lgn-lg（n+1），由此能求出a₁+a₂+…+a₉₉．

解答：解：∵曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴y′=（n+1）xⁿ，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=

n

n+1

，
∵a_n=lgx_n，
∴a_n=lgn-lg（n+1），
∴a₁+a₂+…+a₉₉
=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+（lg3-lg4）+（lg4-lg5）+（lg5-lg6）+…+（lg99-lg100）
=lg1-lg100=-2．
故答案为：-2．

点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．