Question

7．若m∈R，命题p：设x₁，x₂是方程x²-ax-3=0的两个实根，不等式|m+1|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-2，2]恒成立，命题q：函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{10}{3}$）x+3在（-∞，+∞）上有极值，求使p且￢q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 对于p，先求出|x₁-x₂|∈[2$\sqrt{3}$，4]，再根据不等式|m+1|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-2，2]恒成立，得到|m+1|≥4，解得m的范围，
对于q，函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{10}{3}$）x+3在（-∞，+∞）上有极值，则f′（x）=3x²+2mx+（m+$\frac{10}{3}$）=0有实根，根据判别式求出a的范围，
由于p且￢q为真命题，得到p真，q假，问题得解．

解答 解：若命题p为真命题，
∵x₁，x₂是方程x²-ax-3=0的两个实根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+12}$，
∵a∈[-2，2]，
∴|x₁-x₂|∈[2$\sqrt{3}$，4]，
∵|m+1|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-2，2]恒成立，
则只要|m+1|≥|x₁-x₂|_max在a∈[-2，2]成立即可
∴|m+1|≥4
∴m+1≥4或m+1≤-4，
∴m≥3，或m≤-5，
若命题q为真命题，
∵f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{10}{3}$）x+3，
∴f′（x）=3x²+2mx+（m+$\frac{10}{3}$），
∵函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{10}{3}$）x+3在（-∞，+∞）上有极值，
∴f′（x）=3x²+2mx+（m+$\frac{10}{3}$）=0有实根，
∴△=4m²-12m-40≥0，
解得m≤-2，或m≥5，
∵p且￢q为真命题，
∴p真，q假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥3，或m≤-5}\\{-2＜m＜5}\end{array}\right.$，
解得3≤m＜5，
实数m的取值范围为[3，5）

点评 本题目主要考查了复合命题的真假判断的应用，解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题P，Q为真时的m的取值范围，属于中档题．