Question

已知函数f(x)=ax2+bx+c(

1

3

≤a≤1)的图象过点A（0，1），且在该点处的切线与直线2x+y+1=0平行．
（Ⅰ）求b与c的值；
（Ⅱ）设f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为M（a），N（a），求F（a）=M（a）-N（a）的表达式．

Answer 1

分析：（I）根据函数f（x）过点A（0，1），且在该点处的切线与直线2x+y+1=0平行，建立方程组即可求出b与c的值；
（Ⅱ）对函数f（x）进行配方，得到对称轴，判定对称轴与区间[1，3]的位置关系，求出最小值，讨论对称轴与区间中值2的大小，求出最大值，然后利用分段函数表示F（a）即可．

解答：解：（Ⅰ）由A（0，1）满足f（x）解析式，∴c=1，
又f′（x）=2ax+b，x=0时f（0）=b=-2，∴b=-2
∴b=-2，c=1
（Ⅱ）f(x)=ax2-2x+1=a(x-

1

a

)2-

1

a

+1
∵a∈[

1

3

，1]，∴

1

a

∈[1，3]．∴当x=

1

a

时，N(a)=1-

1

a

（6分）
当

1

a

∈[1，2]时，a∈[

1

2

，1]，M(a)=f(3)=9a-5
当

1

a

∈[2，3]时，a∈[

1

3

，

1

2

]，M(a)=f(1)=a-1（10分）
∴F(a)=

a+ 1 a -2，a∈[ 1 3 1 2 ] 9a+ 1 a -6，a∈[ 1 2 ，1]

（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数求闭区间上函数的最值等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论的思想，属于中档题．