Question

已知函数f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令正弦函数为0求出x的值，即为其图象对称中心的横坐标；
（2）利用余弦定理表示出cosx，把b²=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

（1+cos

2x

3

）=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

，
由sin（

2x

3

+

π

3

）=0，得

2x

3

+

π

3

=kπ（k∈Z），
解得：x=

3k-1

2

，k∈Z，
则对称中心的横坐标为

3k-1

2

（k∈Z）；
（2）由已知b²=ac及余弦定理，得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosx＜1，即0＜x≤

π

3

，
∴

π

3

＜

2x

3

+

π

3

≤

5π

9

，
∴

3

＜sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

≤1+

3

2

，即f（x）的值域为（

3

，1+

3

2

]，
综上所述，x∈（0，

π

3

]，f（x）值域为（

3

，1+

3

2

]．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．