Question

19．已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 由题意当焦点在x轴时，可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），已知2c=6，2a=10，可得c，a，b=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，即可得出椭圆的标准方程，同理可得：当焦点在y轴时的椭圆的标准方程．

解答 解：由题意当焦点在x轴时，可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵2c=6，2a=10，可得c=3，a=5，b=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
同理可得：当焦点在y轴时，可得椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$．
综上可得椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．