Question

设a、b、c都是正数，则a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三个数

④

．
①都大于2
②至少有一个大于2
③至少有一个不大于2
④至少有一个不小于2．

Answer 1

分析：对a，b，c取特殊值可以排除①②③，要说明④正确，采用反证法的思想，由基本不等式得到a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三个数的和大于等于6，假若a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三个数均小于2，这与a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三个数的和大于等于6矛盾．

解答：解：取a=b=c=1，则a+

1

b

=b+

1

c

=c+

1

a

=2．
所以①②不正确；
取a=b=c=2，则a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

均大于2．
所以③不正确；
由a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

=(a+

1

a

)+(b+

1

b

)+(c+

1

c

)≥2

a• 1 a

+2

b• 1 b

+2

c• 1 c

=6．
所以a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

三个正数中至少有一个不小于2，否则a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

＜6，矛盾．
故答案为④．

点评：本题考查了基本不等式，考查了命题真假的判定，要说明一个命题是假命题，举一反例即可，要说明一个命题为真命题，需要严格的理论证明，此题是基础题．