Question

数列{b_n}满足：b_n+1=2b_n+2，b_n=a_n+1-a_n，且a₁=2，a₂=4，
（1）求证：数列{b_n+2}是等比数列（要指出首项与公比），
（2）求数列{a_n}的通项公式，
（3）求数列{na_n+2n²}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）利用b_n+1=2b_n+2，推出

bn+1+2

bn+2

=2，即可判断数列{b_n+2}是等比数列．
（2）求出b_n，然后利用b_n=a_n+1-a_n，利用累加法即可求解数列{a_n}的通项公式，
（3）利用错位相减法，即可求解数列{na_n+2n²}的前n项和．

解答：解：（1）由b_n+1=2b_n+2，得b_n+1+2=2（b_n+2），
∵

bn+1+2

bn+2

=2，又b₁+2=a₂-a₁+2=4，
∴数列{b_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．
（2）∵数列{b_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴bn+2=4•2n-1⇒bn=2n+1-2．
∵b_n-1=a_n-a_n-1∴an-an-1=2n-2．
令n=1，2，…，（n-1），叠加得an-2=(22+23+…+2n)-2(n-1)，
∴an=(2+22+23+…+2n)-2n+2=

2(2n-1)

2-1

-2n+2=2n+1-2n．
（3）令cn=nan+2n2，则cn=n•2n+1，令前n项和为S_n，
∴Sn=1×22+2×23+3×24+4×25+…+n•2n+1，
2Sn=1×23+2×24+3×25+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2
所以两式相减得：-S=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n2ⁿ⁺²
所以S_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4．

点评：本题考查递推数列通项公式的求法，等比数列的判断，超五星级法求解数列的和的方法，考查计算能力．