Question

已知x，y满足x²+y²-4x+1=0
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y-x的最小值．

Answer 1

解：由x，y满足x²+y²-4x+1=0，整理得即（x，y）是以（2，0）为圆心，为半径的圆上，
（1）相当与（0，0）与圆上的点相连的直线的斜率，由图形可得，
相切时取最值由图形知，AC=，OC=2，
∴∠AOC=60°，∴，，
∴的最大值，最小值-
斜率为1的平行线与圆有公共点时对应的截距，
而y-x的最小值即为截距的最小值，设y-x=t，
由图形可知，相切时最大或最小，而此时圆心到直线的距离等于半径，
解得t=-2或t=-
故y-x的最小值为：--2．

分析：（1）相当与（0，0）与圆上的点相连的直线的斜率，利用数形结合可知相切时取最值，解出的最大值和最小值．
（2）y-x的值相当于一组斜率为1的平行线与圆有公共点时对应的截距，利用数形结合可知相切时取最值解出相切时对应的值即可．
点评：本题考查了数形结合的数学思想，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．