Question

已知数列{a_n}满足a_n=n?kⁿ（n∈N^*，0＜k＜1）下面说法正确的是（　　）
①当k=

1

2

时，数列{a_n}为递减数列；
②当

1

2

＜k＜1时，数列{a_n}不一定有最大项；
③当0＜k＜

1

2

时，数列{a_n}为递减数列；
④当

k

1-k

为正整数时，数列{a_n}必有两项相等的最大项．

• A、①②
• B、②④
• C、③④
• D、②③

Answer 1

分析：分别根据数列的通项公式进行判断即可．

解答：解：①当k=

1

2

时，an=n?(

1

2

)n，
∵a1=

1

2

，a2=2×

1

4

=

1

2

，∴a₁=a₂，即数列{a_n}不是递减数列，∴①错误．
②当

1

2

＜k＜1时，

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

k(n+1)

n

，
∴k＜

k(n+1)

n

＜2k，
因此数列{a_n}数列{a_n}可有最大项，因此错误；
③当0＜k＜

1

2

时，

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

k(n+1)

n

＜

n+1

2n

≤1，∴a_n+1＜a_n，故数列{a_n}为递减数列；
④

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

k(n+1)

n

，
当

k

1-k

为正整数时，1＞k≥

1

2

．
当k=

1

2

时，a₁=a₂＞a₃＞a₄＞…．
当1＞k＞

1

2

时，令

k

1-k

=m∈N*，解得k=

m

1+m

，则

an+1

an

=

m(n+1)

n(1+m)

，数列{a_n}必有两项相等的最大项．

点评：本题考查了数列的单调性和分类讨论的思想方法，属于难题．