Question

已知正项等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若S₈=17S₄，则S₅：S₃=

31：7

．

Answer 1

分析：根据等比数列的性质可知：可设其中公比为q，根据S₈=17S₄，求出q²即可，再代入S₅：S₃进行求解；

解答：解：∵

S8

S4

=17，（q≠1），若q=1可得

S8

S4

=2≠17，故q≠1，
∴

a1(1-q，8) 1-q

a(1-q4) 1-q

=

1-q8

1-q4

=17，化简得1-q⁸=17（1-q⁴），可得q⁸-17q⁴+16=0，解得q⁴=1或16，q≠1，解得q=2，
S₅：S₃=

1-q5

1-q3

=

q5-1

q3-1

=

q5-q2+q2-1

q3-1

=q²+

q+1

q2+q+1

=4+

2+1

4+2+1

=

31

7

；
故答案为：

31

7

；

点评：此题主要考查等比数列前n项和，利用等比数列的性质，是一道中档题；