Question

已知曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）将C₁，C₂的方程化为普通方程；
（Ⅱ）若C₁上的点P对应的参数为DF=

MF2+DM2

=

302+1702

=10

198

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：x-2y-7=0距离的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角函数cos²t+sin²t=1，化简可得所求的普通方程；（Ⅱ）把t=

π

2

代入可得点P，Q的坐标，由中点公式可得M坐标，代入点到直线的距离公式，由三角函数的最值求解方法可得．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得cos²t+sin²t=（x+4）²+（y-3）²=1，
cos²θ+sin²θ=(

x

8

)2+(

y

3

)2=1，
故所求的普通方程为：C1：(x+4)2+(y-3)2=1，C2：

x2

64

+

y2

9

=1．
（Ⅱ）当t=

π

2

时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），
故M(-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ)，C₃为直线x-2y-7=0，
故M到C₃的距离d=

5

5

|4cosθ-3sinθ-13|=

5

5

[13-5sin（θ-γ）]，其中tanγ=

4

3

从而当cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

时，sin（θ-γ）取最大值1，
此时，d取得最小值

8 5

5

．

点评：本题考查椭圆的参数方程，以及点到直线的距离公式，属中档题．