Question

已知x，a∈R，a＞1，直线y=x与函数f（x）=log_ax有且仅有一个公共点，则a=    ；公共点坐标是    ．

Answer 1

【答案】分析：构造新函数g（x）=log_ax-x，求导函数，确定函数的单调性与最大值，利用直线y=x与函数f（x）=log_ax有且仅有一个公共点，即可求得结论．
解答：解：构造新函数g（x）=log_ax-x，g′（x）=，
令=0，有x=，
因为a＞1，当时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0
所以，g（x）=log_ax-x在x=处有最大值g（），
当g（）时，直线y=x与函数f（x）=log_ax有且仅有一个公共点，即log_a（）=，
∴ln（lna）=-1，lna=，∴
则y=，即公共点坐标是（a，e），
故答案为：，（a，e）．
点评：本题考查导数和函数零点等知识解决问题的能力，考查学生创新意识、运用数学知识解决问题的能力和计算能力．