Question

已知数列｛a_n｝满足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N*）。
(1)求数列｛a_n｝的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n，不等式a₁·a₂·……a_n＜2·n！。

Answer 1

（1）解：将条件变为：，
因此｛1-｝为一个等比数列，其首项为，公比为，
从而，据此得a_n=（n≥1）。
（2）证明：据1°得，
a₁·a₂·…a_n=，
为证a₁·a₂·……a_n<2·n！，
只要证n∈N*时，有，…………2°
显然，左端每个因式都是正数，
先证明，对每个n∈N*，有，…………3°
用数学归纳法证明3°式：
(ⅰ)n=1时，3°式显然成立，
(ⅱ)设n=k时，3°式成立，
即，
则当n=k+1时，
 
 

，
即当n=k+1时，3°式也成立。
故对一切n∈N*，3°式都成立。
利用3°得，


，
故2°式成立，从而结论成立。