Question

已知椭圆C过点P（1，），两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₁的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的方程，将P的坐标代入椭圆的方程得到关于a，b的等式，再根据椭圆的三个参数的关系列出关于a，b，c的另一个等式，解方程组求出a，b的值即得到椭圆的方程．
（2）设出直线AB的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理表示出中点的坐标，消去参数m得到中点的轨迹方程．
解答：解：（1）由题意可知，c=1，a²=b²+1
设椭圆的方程为（a＞b＞0）…即
因为点P在椭圆上，所以，解得b²=3，
所以椭圆方程为  
（2）解：设过点F₁的直线方程为：x=my-1
代入，得：
整理得（3m²+4）y²-6my-9=0
同理可得：
设线段AB的中点为M（x，y），则
整理得：3x²+4y²+3x=0
当y=0时，易知线段AB的中点为原点，满足上述方程．
综上所述，所求的方程为：3x²+4y²+3x=0
点评：求圆锥曲线的方程问题，一般利用待定系数法，注意椭圆中的三个参数的关系与双曲线中的三个参数关系的区别；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理找突破口．