Question

若函数f（x）和g（x）都为奇函数，函数F（x）=af（x）+bg（x）+3在（0，+∞）上有最大值10，则F（x）在（-∞，0）上有（　　）

A．最小值-10

B．最小值-7

C．最小值-4

D．最大值-10

Answer 1

分析：首先根据f（x）和g（x）都是奇函数，得对任意实数x，都有f（-x）=-f（x）且g（-x）=-g（x）．由函数F（x）在（0，+∞）上有最大值10，可以证得：当x＜0时，F（-x）≤10，再结合f（x）和g（x）为奇函数，整理得af（x）+bg（x）≥-7，可得当x＜0时，F（x）=af（x）+bg（x）+3≥-4．设F（x）=af（x）+bg（x）+3在（0，+∞）上取最大值时的x=x₀，结合结合f（x）和g（x）为奇函数，可以证出当x＜0时，F（x）的最小值为F（-x₀）=-4．从而得出正确答案．

解答：解：∵函数f（x）和g（x）都为奇函数，
∴对任意实数x，都有f（-x）=-f（x）且g（-x）=-g（x）．
当x＞0时，F（x）=af（x）+bg（x）+3的最大值为10，
设F（x）=af（x）+bg（x）+3取最大值时的x=x₀，（x₀是正数）
即对任意的x＞0，均有F（x）≤F（x₀）=10，
∴当x＜0时，F（-x）≤10，即af（-x）+bg（-x）+3≤10
∴af（-x）+bg（-x）≤7，即-af（x）-bg（x）≤7
∴af（x）+bg（x）≥-7，可得F（x）=af（x）+bg（x）+3≥-4
∵F（-x₀）=af（-x₀）+bg（-x₀）+3=-[af（x₀）+bg（x₀）+3]+6，
∴F（-x₀）=-F（x₀）+6=-10+6=-4，
∴F（x）在（-∞，0）上当x=-x₀时，F（x）有最小值为-4．
故选C

点评：本题从一个由两个奇函数组合而成的函数出发，研究了它的最值问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性的综合和抽象函数处理等知识点，属于中档题．