Question

11．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，点M在抛物线C上，MQ垂直准线l于点Q，若△MQF是等边三角形，则$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{FM}$的值为8．

Answer 1

分析 求出F的坐标，设M（x，2$\sqrt{x}$），则Q（-1，2$\sqrt{x}$），（x＞0），根据△MQF是等边三角形，求出x的值，从而求出$\overrightarrow{FQ}$，$\overrightarrow{FM}$的坐标，求出$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{FM}$的值即可．

解答 解：y²=4x的焦点为F，故F（1，0），
设M（x，2$\sqrt{x}$），则Q（-1，2$\sqrt{x}$），（x＞0），
$\overrightarrow{MQ}$=（x+1，0），$\overrightarrow{FQ}$=（-2，2$\sqrt{x}$），$\overrightarrow{MF}$=（x-1，2$\sqrt{x}$），
若△MQF是等边三角形，
则|MQ|=|FQ|=|MF|，
故（x+1）²=4+4x，解得：x=3，x=-1（舍），
故$\overrightarrow{FQ}$=（-2，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{FM}$=（2，2$\sqrt{3}$），
故$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{FM}$=-4+12=8，
故答案为：8．

点评 本题考查了抛物线的性质，考查向量的运算，是一道中档题．