Question

已知函数f（x）=

1

x-2

，
（1）判断f（x）在[3，5]上的单调性，并证明；
（2）求f（x）在[3，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用单调性的定义来判断f（x）在[3，5]上的单调性即可；
（2）根据f（x）在[3，5]上的单调性，求出f（x）在[3，5]上的最值．

解答： 解：（1）f（x）在[3，5]上为减函数，…（1分）
证明：任取x₁，x₂∈[3，5]，有x₁＜x₂
∴f(x1)-f(x2)=

1

x1-2

-

1

x2-2

=

x2-x1

(x1-2)(x2-2)

；…（2分）
∵x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0；
又∵x₁，x₂∈[3，5]，
∴（x₁-2）（x₂-2）＞0，
∴

x2-x1

(x1-2)(x2-2)

＞0；…（3分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；…（4分）
∴f（x）在[3，5]上的是减函数；…（5分）
（2）∵f（x）在[3，5]上的是减函数，…（6分）
∴f（x）在[3，5]上的最大值为f（3）=1，…（7分）
f（x）在[3，5]上的最小值为f(5)=

1

3

．…（8分）

点评：本题考查了函数的单调性的判断问题，也考查了利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值问题，是基础题．