Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）证明：

a

⊥

b

；
（2）若存在实数k和t，使得x=

a

+（t²-3）

b

，y=-k

a

+t

b

，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；
（3）根据（2）的结论，确定k=f（t）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）只要证明

a

•

b

=0，即可证明a⊥b
（2）根据

x

⊥

y

可得，

x

•

y

=0，再化简，即可得到含t和k的式子，用t表示k，可得函数关系式k=f（t）．
（3）利用导数求单调区间，先求导，k′＜0得到，函数的减区间，令k′＞0得到函数的增区间．

解答：解：（1）证明：∵

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）
∴

3

×

1

2

+（-1）×

3

2

=0，∴

a

⊥

b

  …（4分）
（2）由题意知

x

=（

t2+2 3 -3

2

，

3 t2-3 3 -2

2

），

y

=（

1

2

t-

3

k，

3

2

t+k）
又

x

⊥

y

故

x

•

y

=

t2+2 3 -3

2

×（

1

2

t-

3

k）+

3 t2-3 3 -2

2

×（

3

2

t+k）=0
整理得：t³-3t-4k=0即k=

1

4

t³-

3

4

t  …（4分）
（3）由（2）知：k=f（t）=

1

4

t³-

3

4

t
∴k′=f′（t）=

3

4

t²-

3

4

令k′＜0得-1＜t＜1；t＜-1或t＞1
故k=f（t）单调递减区间是（-1，1），单调递增区间是（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（4分）

点评：本题考查了向量垂直充要条件的应用，以及导数求单调区间，属于基础题，应该掌握．