Question

14．已知函数f（x）=x²-mx+m-1．
（1）若函数y=lg[f（x）]在区间[2，4]上有意义，求实数m的取值范围；
（2）若函数y=|f（x）|在区间[-1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=f（2^x），x∈[0，1]的最大值g（m），求g（m）的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x²-mx+m-1＞0在[2，4]恒成立，即有m＜x+1在[2，4]恒成立．由恒成立思想即可得到所求范围；
（2）求得与x轴的交点，讨论m≥2时，1≤m＜2时，m＜1时，由函数的单调性，可得所求范围；
（3）令t=2^x（1≤t≤2），函数y=t²-mt+m-1，求得对称轴和区间的关系，结合单调性，可得最大值．

解答 解：（1）由y═lg（x²-mx+m-1）在区间[2，4]上有意义，
可得x²-mx+m-1＞0在[2，4]恒成立，
即有m＜x+1在[2，4]恒成立．
可得x+1≥3，即有m＜3；
（2）函数y=|f（x）|=|x²-mx+m-1|=|（x-m+1）（x-1）|，
即有函数与x轴的交点为（1，0），（m-1，0），
当m-1≥1，即m≥2时，函数在[-1，0]递减；
当0≤m-1＜1，即1≤m＜2时，函数在（-∞，m-1）递减，即有
函数在[-1，0]递减；
当m-1＜0即m＜1时，函数在[-1，0]不为递减．
综上可得，m的取值范围是[1，+∞）；
（3）令t=2^x（1≤t≤2），函数y=t²-mt+m-1，
对称轴为t=$\frac{m}{2}$，
当$\frac{m}{2}$≥2，即m≥4时，区间[1，2]为减区间，t=1时，取得最大值0；
当$\frac{m}{2}$≤1，即m≤2时，区间[1，2]为增区间，t=2时，取得最大值3-m；
当2＜m＜3时，函数在[1，$\frac{m}{2}$]递减，在[$\frac{m}{2}$，2]递增，且3-m＞0，
即有最大值为3-m；
当3≤m＜4时，即有3-m≤0，则函数的最大值为0．
综上可得，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{3-m，m＜3}\\{0，m≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的单调性和最值的求法，考查分类讨论的思想方法，以及指数函数和对数函数的性质，考查运算能力，属于中档题．