Question

曲线y=

sinx

x

在点M（π，0）处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+4y的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：不等式的解法及应用

分析：求出函数的切线方程，作出对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可得到结论．

解答： 解：∵y=f（x）=

sinx

x

，
∴f′(x)=

xcosx-sinx

x2

，f′（π）=-

1

π

，
则对应的切线方程为y=-

1

π

（x-π）=-

1

π

x+1，
则对应的三角形区域为阴影部分，
设z=x+4y，
平移直线x+4y=0，
由图象可知当直线经过点A（0，1）时，
直线z=x+4y的截距最大，此时z最大，
为z=4，
故答案为：4

点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及线性规划的有关知识，利用数形结合是解决本题的关键．