Question

已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）。
（1）求实数b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[ ，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由f（e）=2，代入f（x）=-ax+b+axlnx，得b=2；
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx，函数f（x）的定义域为（0，+∞），从而f′（x）=alnx，
∵a≠0，故
①当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞1，
由f′（x）＜0得0＜x＜1；
②当a＜0时，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1；
综上，当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（3）当a=1时，f（x）=-x+2+xlnx，f′（x）=lnx，
由（2）可得，当x∈（，e），f（x），f′（x）变化情况如下表：

因为
所以y=f（x）在上的值域为[1，2]，
据此可得，若则对每一个直线与曲线都有公共点；并且对每一个，直线与曲线都没有公共点
综上，当时，存在最小的实数，最大的实数，使得对每一个，直线与曲线（）都有公共点。