Question

已知椭圆是以二次函数y=-的图象与x轴的交点为焦点，以该函数图象的顶点为椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上位于第一象限内的一点P的横坐标为，，求△PF₁F₂面积．（F₁、F₂分别椭圆的两个焦点）．

Answer 1

解：（1）由已知：椭圆的焦点在x轴上，
可设为（a＞b＞0）
由x²+2=0可得：x=±4
又∵函数y=x²+2=0的顶点为（0，2）
∴c=4，b=2，∴a²=20
∴椭圆方程为
（2）由x_P=代入（1）中的方程可得：y_P=1（y_P＞0）
又∵|F₁F₂|=2c=8
∴．
分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用二次函数的解析式求得其与x轴的交点即椭圆的焦点求得c，利用二次函数图象的顶点求得椭圆的顶点，求得b，则a可求，椭圆的方程可得．
（2）x_P=代入椭圆的方程，求得其纵坐标，同时利用|F₁F₂|的值，以及三角形面积公式求得答案．
点评：本题主要考查了椭圆的应用和椭圆的标准方程．解题的关键是要求考生对椭圆基础知识的熟练掌握．